Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:
,
.
Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функции и и их производные и соответствующими комплексными изображениями , , , :
(1)
(2)
В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения: - комплексное сопротивление линии на единицу длины [Ом /м], - комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м].
Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подстановку из (1):
или
(3)
Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим методом. Характеристическое уравнение и его корни:
, откуда - - , + + .
Решение для искомой функции в общем виде:
,
где - безразмерная комплексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, - комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).
Из уравнения (1) находим:
где ― волновое или характеристическое сопротивление линии.
Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:
, (4)
. (5)
Волновое сопротивление и постоянная распространения получили название вторичных параметров линии.
Выразим постоянные интегрирования и через граничные условия начала линии. При х=0 , , подставим эти значения в уравнения (4) и (5):
Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования: , .
Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):
Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.
Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце линии:
Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l-y из условия x=l-y, где l ― длина всей линии, а y ― расстояние от конца линии до рассматриваемой ... остальная часть текста, формулы, таблицы, изображения скрыты